Exercício Resolvido de Dinâmica

Um homem de massa m = 70 kg, está num elevador, este se move com aceleração a = 2 m/s² determinar:
a) A força com que o homem atua no chão do elevador, se o elevador está descendo;
b) A força com que o homem atua no chão do elevador, se o elevador está subindo;
c) Para qual aceleração do elevador a força do homem sobre o chão do elevador desaparecerá?
Adote g = 10 m/s² para a aceleração da gravidade.

Dados do problema

massa do homem: m = 70 kg;
aceleração do elevador: a = 2 m/s²;
aceleração da gravidade: g = 10 m/s²}.

Solução

a) Adotamos o sentido da aceleração do elevador (para baixo) com sendo positivo.
Isolando os corpos e pesquisando as forças que atuam neles (figura 1) podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton

F ⃗ = m a ⃗ (I)

$\bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I}$

Elevador

$\vec{N}$ : ação do homem sobre o chão do elevador.

Homem

$\vec{P}$ : força peso do homem devido a sua massa.
$\vec{N}$ : reação do chão do elevador sobre o homem.

figura 1

Observação: No elevador também existe o peso do próprio elevador, mas como desejamos encontrar a força que o homem faz sobre o elevador e esta é igual, em módulo, à reação do elevador sobre o homem (

N⃗ $\vec{N}$ ), basta analisar as forças que atuam no homem.

Aplicando a expressão (I) ao homem, temos

P - N = m a

$P-N=ma$

a força peso do homem é dada por

P = m g

$P=mg$

substituindo esta expressão

m g - N = m a N = m g - m a

$mg-N=ma\\ N=mg-ma$

colocando a massa m em evidência do lado direito da igualdade, obtemos

N = m (g - a) (II)

$N=m\;(\;g-a\;) \tag{II}$

substituindo os valores dados no problema, temos

N = 70. (10 - 2) N = 70.8

$N=70.(\;10-2\;)\\ N=70.8$

N = 560 N

$\bbox[#FFCCCC,10px] {N=560\;\text{N}}$

b) Adotamos o sentido da aceleração do elevador (para cima) com sendo positivo.
Novamente isolando os corpos e pesquisando as forças que atuam neles (figura 1) podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton.
As forças que atuam no elevador e no homem são as mesmas do item (a), conforme figuras 1 e 2.
Aplicando a expressão (I) ao homem, considerando agora a inversão no sentido da aceleração do elevador temos

N - P = m a

$N-P=ma$

usando a mesma definição de força peso do item (a)

N - m g = m a N = m g + m a

$N-mg=ma\\ N=mg+ma$

Homem de massa m num elevador com aceleração ascendente a e sob ação da aceleração da gravidade g, no elevador atua a força normal devido ao homem e no homem a sua força peso e a força normal devido ao elevador.

figura 2

colocando a massa m em evidência do lado direito da igualdade, obtemos

N = m (g + a)

$N=m\;(\;g+a\;)$

substituindo os valores dados no problema, temos

N = 70. (10 + 2) N = 70.12

$N=70.(\;10+2\;)\\ N=70.12$

N = 840 N

$\bbox[#FFCCCC,10px] {N=840\;\text{N}}$

c) Para que a força do homem desapareça devemos ter a força normal nula (

N=0 $N=0$ ), colocando está condição na expressão (II) do item (a), temos

0 = m (g - a) g - a = 0 m g - a = 0

$0=m\;(\;g-a\;)\\ g-a=\frac{0}{m}\\ g-a=0$

a = g = 10 m/s 2

$\bbox[#FFCCCC,10px] {a=g=10\;\text{m/s}^{2}}$

Observação 1: Este resultado significa que o elevador e o homem estão em queda livre, o homem tende a “descolar” do chão do elevador, não há ação do homem sobre o elevador e, portanto, não há reação do elevador sobre o homem.

Observação 2: Se ao invés de utilizarmos a expressão (II) do item (a) para o cálculo tivéssemos usado a expressão

N=m(g+a) $N\;=\;m\;(\;g+a\;)$ do item (b) com a condição de

N=0 $N\;=\;0$ , o resultado seria

a=−g $a\;=\;-g$ . Isto significa que o módulo da aceleração seria o mesmo, mas o sentido da aceleração, que no item (b) está orientada para cima, teria que ser invertida para baixo, o que faz coincidir com a situação do item (a).